Задача №10574

Катет прямоугольного треугольника равен 21, одна из средних линий равна 10. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине. Таким образом, длины средних линий данного треугольника равны $\frac{a}{2}\text{,}$ $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}\text{.}$

По условию задачи один из катетов равен 21 (пусть $a=21$), а одна из средних линий равна 10. Следовательно, сторона треугольника, которой соответствует эта средняя линия, имеет длину:

Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника всегда строго больше любого из его катетов (то есть $c>a=21$), найденная сторона длиной 20 не может быть гипотенузой. Значит, эта сторона является вторым катетом треугольника: $b=20\text{.}$

Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 29.