Задача №10572: Планиметрия

В треугольнике $A B C$ на сторонах $A B$ и $B C$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $B M : A B = 1 : 2,$ а $B K : B C = 4 : 5 .$ Во сколько раз площадь треугольника $A B C$ больше площади треугольника $M B K ?$

Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Для треугольников $A B C$ и $M B K$ угол $B$ является общим. Запишем формулы для их площадей:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin B

S_{M B K} = \frac{1}{2} \cdot B M \cdot B K \cdot sin B

Найдём отношение площади треугольника $A B C$ к площади треугольника $M B K :$

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin B}{\frac{1}{2} \cdot B M \cdot B K \cdot sin B} = \frac{A B}{B M} \cdot \frac{B C}{B K}

Из условий задачи имеем:

$B M : A B = 1 : 2 \Rightarrow \frac{A B}{B M} = 2$
$B K : B C = 4 : 5 \Rightarrow \frac{B C}{B K} = \frac{5}{4} = 1, 25$

Подставим эти значения в формулу отношения площадей:

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = 2 \cdot 1, 25 = 2, 5

Ответ: в $2, 5$ раза.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Для треугольников $A B C$ и $M B K$ угол $B$ является общим. Запишем формулы для их площадей:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin B

S_{M B K} = \frac{1}{2} \cdot B M \cdot B K \cdot sin B

Найдём отношение площади треугольника $A B C$ к площади треугольника $M B K :$

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin B}{\frac{1}{2} \cdot B M \cdot B K \cdot sin B} = \frac{A B}{B M} \cdot \frac{B C}{B K}

Из условий задачи имеем:

$B M : A B = 1 : 2 \Rightarrow \frac{A B}{B M} = 2$
$B K : B C = 4 : 5 \Rightarrow \frac{B C}{B K} = \frac{5}{4} = 1, 25$

Подставим эти значения в формулу отношения площадей:

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = 2 \cdot 1, 25 = 2, 5

Ответ: в $2, 5$ раза.

Задача №10572

Задача #10572

Решай похожие задачи

Информация

Задача №10572

Задача #10572

Решай похожие задачи

Информация

Задача #10572

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #10572

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация