Задача №10570

Пусть $BH$ — высота, опущенная на основание $AC\text{.}$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с равными боковыми сторонами $AB=BC=52\text{,}$ то высота $BH$ является также и медианой, следовательно, $AC=2\cdot AH\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$):

1. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$$BH=AB\cdot \sin A=52\cdot \frac{5}{13}=4\cdot 5=20.$$

2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABH\text{:}$

$$AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{52^2-20^2}=\sqrt{(52-20)(52+20)}=\sqrt{32\cdot 72}=\sqrt{2304}=48.$$

Так как высота $BH$ делит основание пополам, найдем длину основания $AC\text{:}$

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 48=96.$$

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения основания на высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 96\cdot 20=960.$$

Ответ: 960