Задача №10570 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 52, sin A = (5)/(13). Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть BH — высота, опущенная на основание AC. Так как треугольник ABC равнобедренный с равными боковыми сторонами AB = BC = 52, то высота BH является также и медианой, следовательно, AC = 2 * AH. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ( AHB = 90^): 1. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: BH = AB * sin A = 52 * (5)/(13) = 4 * 5 = 20. 2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABH: AH = sqrt(AB^2 - BH^2) = sqrt(52^2 - 20^2) = sqrt((52 - 20)(52 + 20)) = sqrt(32 * 72) = sqrt(2304) = 48. Так как высота BH делит основание пополам, найдем длину основания AC: AC = 2 * AH = 2 * 48 = 96. Площадь треугольника ABC вычисляется как половина произведения основания на высоту: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 96 * 20 = 960. Ответ: 960

960