Задача №10567

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin A=\frac{BC}{AB}.$$

Отсюда выразим длину стороны $BC\text{:}$

$$BC=AB\cdot \sin A.$$

Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ и учитывая, что синус острого угла положителен, найдём $\sin A\text{:}$

$$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{15}{17}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{225}{289}}=\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}.$$

Вычислим длину стороны $BC\text{:}$

$$BC=51\cdot \frac{8}{17}=3\cdot 8=24.$$

Ответ: 24.