Задача №10565

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC=12\text{,}$ $\angle ABC=120^{\circ }\text{,}$ $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK\text{.}$

Так как в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, он является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$

Биссектриса $BK\text{,}$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой. Значит, треугольник $ABK$ — прямоугольный ($\angle AKB=90^{\circ }$).

Поскольку $BK$ — биссектриса угла $ABC\text{,}$ получаем:

В прямоугольном треугольнике $ABK$ найдём катет $BK\text{:}$

Ответ: 6.