Задача №10557

Диаметры $AC$ и $BD$ пересекаются в центре окружности $O\text{,}$ поэтому точки $A,O,C$ лежат на одной прямой, а $OA=OB=OC=OD=R\text{,}$ где $R$ — радиус окружности.

Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, следовательно:

$$\angle BOC=\angle AOD=38^{\circ }$$

Рассмотрим треугольник $BOC\text{.}$ Так как $OB=OC$ (как радиусы окружности), треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle OBC=\angle OCB$$

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому:

$$\angle OBC+\angle OCB+\angle BOC=180^{\circ }$$

Заменяя $\angle OBC$ на $\angle OCB$ и подставляя значение $\angle BOC\text{,}$ получаем:

$$2\cdot \angle OCB+38^{\circ }=180^{\circ }$$ $$2\cdot \angle OCB=142^{\circ }$$ $$\angle OCB=71^{\circ }$$

Угол $ACB$ совпадает с углом $OCB\text{,}$ следовательно, $\angle ACB=71^{\circ }\text{.}$

Ответ: $71^{\circ }$