Задача №10556

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка $K$ — середина отрезка $AC\text{:}$

$$KC=\frac{AC}{2}=\frac{30}{2}=15.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ ($\angle BKC=90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы $BC\text{:}$

$$BC=\sqrt{B{K}^2+K{C}^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17.$$

Поскольку точка $P$ является серединой стороны $BC\text{,}$ отрезок $KP$ — это медиана прямоугольного треугольника $BKC\text{,}$ проведённая к гипотенузе.

Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы:

$$KP=\frac{BC}{2}=\frac{17}{2}=8,5.$$

Ответ: 8,5