Задача №10554

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD=111^{\circ }\text{.}$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD\text{.}$

1. По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

2. По условию задачи, диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB\text{,}$ то есть $AC=2AB\text{,}$ откуда:

3. Сравнивая полученные равенства, находим:

4. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, имеем $CD=AB\text{.}$ Следовательно:

5. Таким образом, треугольник $OCD$ — равнобедренный с основанием $OD\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

6. Сумма углов треугольника $OCD$ равна $180^{\circ }\text{.}$ Поскольку луч $CO$ совпадает с лучом $CA\text{,}$ угол $\angle OCD$ равен $\angle ACD=111^{\circ }\text{.}$ Тогда:

Угол $\angle COD$ является острым, поэтому угол между диагоналями параллелограмма равен $34,5^{\circ }\text{.}$

Ответ: $34,5^{\circ }\text{.}$