Задача №10552

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{,}$ медиана $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является его высотой. Значит, $BK\perp AC\text{,}$ а треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$ ($\angle AKB=90^{\circ }$).

Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ следовательно, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC\text{.}$ По свойству средней линии треугольника:

$$MN=\frac{1}{2}AC$$

Отсюда найдём длину основания $AC\text{:}$

$$AC=2\cdot MN=2\cdot 12=24$$

Поскольку $BK$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $K$ является серединой основания $AC\text{.}$ Следовательно:

$$AK=\frac{1}{2}AC=\frac{24}{2}=12$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{K}^2+B{K}^2$$ $$A{B}^2=12^2+9^2=144+81=225$$ $$AB=\sqrt{225}=15$$

Ответ: $15$