Задача №10548

Сумма двух углов ромба равна $240^{\circ }\text{,}$ а его меньшая диагональ равна 14. Найдите периметр ромба.

Пусть углы ромба равны $\alpha$ и $\beta \text{.}$ Сумма соседних углов ромба равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому два угла, сумма которых равна $240^{\circ }\text{,}$ являются противоположными и тупыми.

Пусть эти углы равны $\beta \text{.}$ Получаем:

Следовательно, острый угол ромба равен:

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов и делит ромб на два равных треугольника. Рассмотрим один из них. Этот треугольник образован двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Поскольку стороны ромба равны, этот треугольник равнобедренный с углом $60^{\circ }$ при вершине, а следовательно, он является равносторонним.

Таким образом, сторона ромба равна меньшей диагонали:

Периметр ромба равен:

Ответ: 56.