Задача №10546

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ одновременно является биссектрисой угла $B\text{.}$ Если медиана треугольника совпадает с биссектрисой, проведённой из той же вершины, то треугольник равнобедренный, поэтому $BA=BC\text{.}$

Тогда медиана $BM$ является также высотой, то есть $BM\perp AC\text{,}$ и угол $AMB=90^{\circ }\text{.}$

Биссектриса делит угол $B$ пополам, значит угол $ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ В нём $BM$ — катет, прилежащий к углу $ABM=60^{\circ }\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos 60^{\circ }=\frac{BM}{AB}\Rightarrow AB=\frac{BM}{\cos 60^{\circ }}=\frac{26}{0,5}=52.$$

Ответ: 52.