Задача №10544

По рисунку треугольник $ABC$ является равнобедренным с равными боковыми сторонами $AB=BC=25\text{.}$ Следовательно, углы при основании равны: $\angle A=\angle C\text{.}$

Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые, то $\cos A>0\text{.}$ Найдем косинус угла $A$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому $AC=2\cdot AH\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ найдем высоту $BH$ и отрезок $AH\text{:}$

$$BH=AB\cdot \sin A=25\cdot \frac{3}{5}=15.$$ $$AH=AB\cdot \cos A=25\cdot \frac{4}{5}=20.$$

Основание $AC$ равно:

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 20=40.$$

Найдем площадь треугольника $ABC\text{:}$

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 15=300.$$

Ответ: 300