Задача №10540

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=36$ и $AD=113\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

1. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $CD=AB=36$ и $BC=AD=113\text{.}$

2. Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ Так как $ABCD$ — прямоугольник, угол $B$ прямой. Угол $\angle EAB=45^{\circ }$ по условию. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ следовательно:

3. Так как $\angle EAB=\angle AEB=45^{\circ }\text{,}$ треугольник $ABE$ является равнобедренным, откуда $BE=AB=36\text{.}$

4. Отрезок $BC$ состоит из отрезков $BE$ и $EC\text{.}$ Найдём длину $EC\text{:}$

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ с прямым углом $C\text{.}$ По теореме Пифагора:

Ответ: 85