Задача №10535

В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам и равны $80$ и $18\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма $ABCD\text{.}$

В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам. Это означает, что каждая диагональ является биссектрисой соответствующего угла. В параллелограмме, если диагонали делят углы пополам, то такой параллелограмм является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали $AC=80$ и $BD=18\text{.}$ Обозначим точку пересечения диагоналей за $O\text{.}$ Тогда:

Треугольник $AOB$ прямоугольный с прямым углом $O\text{,}$ так как диагонали ромба перпендикулярны. По теореме Пифагора:

В ромбе все стороны равны, поэтому сторона $AB=BC=CD=DA=41\text{.}$

Периметр ромба:

Ответ: 164.