Задача №10534

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$

По свойствам ромба:
1. Диагонали перпендикулярны: $AC\perp BD\text{,}$ следовательно, треугольник $AOB$ — прямоугольный ($\angle AOB=90^{\circ }$).
2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам:

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20$$ $$BO=\frac{BD}{2}$$

Площадь ромба выражается через его диагонали формулой:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD$$

Подставим известные значения площади и диагонали $AC\text{:}$

$$240=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot BD$$ $$240=20\cdot BD\Rightarrow BD=12$$

Тогда половина диагонали $BD$ равна:

$$BO=\frac{12}{2}=6$$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ тангенс угла $BAC$ (который совпадает с углом $BAO$) равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $AO\text{:}$

$$\mathrm{tg}(\angle BAC)=\frac{BO}{AO}=\frac{6}{20}=0,3.$$

Ответ: $0,3\text{.}$