Задача №10522

Проведём диагональ $BD\text{.}$ Она разбивает четырёхугольник $ABCD$ на два треугольника: $ABD$ и $CBD\text{.}$

Рассмотрим эти треугольники. По условию $AB=CB$ и $AD=CD\text{,}$ а сторона $BD$ у них общая. Значит, треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

$$\angle A=\angle C.$$

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{:}$

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$$

Подставим известные значения и учтём, что $\angle A=\angle C\text{:}$

$$2\angle A+42^{\circ }+48^{\circ }=360^{\circ }.$$

Тогда:

$$2\angle A=360^{\circ }-90^{\circ }=270^{\circ },$$ $$\angle A=135^{\circ }.$$

Ответ: 135