Задача №10515

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos B=\frac{BC}{AB}.$$

Выразим и найдём длину катета $BC\text{:}$

$$BC=AB\cdot \cos B=58\cdot \frac{21}{29}=2\cdot 21=42.$$

По теореме Пифагора найдём длину второго катета $AC\text{:}$

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}.$$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$$AC=\sqrt{(58-42)(58+42)}=\sqrt{16\cdot 100}=4\cdot 10=40.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 42=20\cdot 42=840.$$

Ответ: 840