Задача №10515 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90^, cos B = (21)/(29). Гипотенуза AB = 58. Найдите площадь треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB: cos B = (BC)/(AB). Выразим и найдём длину катета BC: BC = AB * cos B = 58 * (21)/(29) = 2 * 21 = 42. По теореме Пифагора найдём длину второго катета AC: AC = sqrt(AB^2 - BC^2). Используя формулу разности квадратов, получаем: AC = sqrt((58 - 42)(58 + 42)) = sqrt(16 * 100) = 4 * 10 = 40. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (1)/(2) * AC * BC = (1)/(2) * 40 * 42 = 20 * 42 = 840. Ответ: 840

840