Задача №10511

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A\text{,}$ пересекающая сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Найдите $KC\text{,}$ если $AB=9\text{,}$ а периметр параллелограмма равен 46.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм.

1. Так как $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$

2. Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то $BC\parallel AD\text{.}$ Следовательно, накрест лежащие углы $\angle AKB$ и $\angle KAD$ равны:

3. Из пунктов 1 и 2 получаем, что $\angle BAK=\angle AKB\text{.}$ Значит, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK\text{,}$ откуда:

4. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен $2(AB+BC)=46\text{,}$ откуда находим длину стороны $BC\text{:}$

5. Точка $K$ лежит на стороне $BC\text{,}$ поэтому длина отрезка $KC$ равна:

Ответ: $5\text{.}$