Задача №10509

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$ (так как медиана $BM$ проведена к основанию, то $AB=BC$).

1. Найдем внутренний угол при основании треугольника. Поскольку внешний угол при основании равен $150^{\circ }\text{,}$ смежный с ним внутренний угол при основании равен:

$$\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C=30^{\circ }.$$

2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ является прямоугольным ($\angle AMB=90^{\circ }$).

3. В прямоугольном треугольнике $ABM$ катет $BM\text{,}$ лежащий против угла $\angle A=30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM.$$

Подставим значение $BM=34\text{:}$

$$AB=2\cdot 34=68.$$

Ответ: 68