Задача №10504

Рассмотрим прямоугольник $ABCD\text{.}$ По условию $AB=56\text{,}$ $AD=89\text{.}$ Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, получаем:

$$CD=AB=56.$$ $$BC=AD=89.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ (угол $B$ равен $90^{\circ }$). Так как по условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{,}$ то угол $\angle AEB$ равен:

$$\angle AEB=90^{\circ }-\angle EAB=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }.$$

Следовательно, треугольник $ABE$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, откуда:

$$BE=AB=56.$$

Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ значит, длина отрезка $EC$ равна:

$$EC=BC-BE=89-56=33.$$

В прямоугольном треугольнике $ECD$ (угол $C$ равен $90^{\circ }$) применим теорему Пифагора:

$$E{D}^2=E{C}^2+C{D}^2,$$ $$E{D}^2=33^2+56^2,$$ $$E{D}^2=1089+3136=4225,$$ $$ED=\sqrt{4225}=65.$$

Ответ: $65.$