Задача №10504 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 56 и AD = 89, отмечена точка E так, что EAB = 45^. Найдите ED.

Рассмотрим прямоугольник ABCD. По условию AB = 56, AD = 89. Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, получаем: CD = AB = 56. BC = AD = 89. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE (угол B равен 90^). Так как по условию EAB = 45^, то угол AEB равен: AEB = 90^ - EAB = 90^ - 45^ = 45^. Следовательно, треугольник ABE является равнобедренным прямоугольным треугольником, откуда: BE = AB = 56. Точка E лежит на стороне BC, значит, длина отрезка EC равна: EC = BC - BE = 89 - 56 = 33. В прямоугольном треугольнике ECD (угол C равен 90^) применим теорему Пифагора: ED^2 = EC^2 + CD^2, ED^2 = 33^2 + 56^2, ED^2 = 1089 + 3136 = 4225, ED = sqrt(4225) = 65. Ответ: 65.

65