Задача №10503

В треугольнике $ABC$ сторона $AC=78\text{,}$ $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC=BM\text{.}$ Найдите длину отрезка $AH\text{.}$

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$

Найдём длину отрезков $AM$ и $MC\text{:}$

Рассмотрим треугольник $BMC\text{.}$ По условию $BC=BM\text{,}$ следовательно, треугольник $BMC$ — равнобедренный с основанием $MC\text{.}$

Высота $BH\text{,}$ проведённая к стороне $AC\text{,}$ также является высотой треугольника $BMC\text{,}$ проведённой к его основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, $H$ — середина отрезка $MC\text{.}$

Найдём длину отрезка $MH\text{:}$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

Ответ: $58,5$