Задача №10500

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC\text{.}$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ то высота $BH$ также является его медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AC$ пополам:

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{32}{2}=16$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH\text{.}$ По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника:

$$\mathrm{tg}A=\frac{BH}{AH}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{5}{4}=\frac{BH}{16}\Rightarrow BH=16\cdot \frac{5}{4}=20$$

Площадь треугольника $ABC$ равна половине произведения его основания на высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 20=320$$

Ответ: $320$