Задача №10499

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$ ($AB=BC$).

1. Внешний угол при основании $AC$ равен $150^{\circ }\text{.}$ Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Найдём угол $C\text{:}$

$$\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ то углы при основании равны: $\angle A=\angle C=30^{\circ }\text{.}$

2. Медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $BMC$ — прямоугольный ($\angle BMC=90^{\circ }$).

3. В прямоугольном треугольнике $BMC$ катет $BM$ лежит напротив угла $C=30^{\circ }\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы:

$$BM=\frac{1}{2}BC.$$

Отсюда находим боковую сторону $BC\text{:}$

$$BC=2\cdot BM=2\cdot 31=62.$$

Ответ: $62\text{.}$