В равнобедренном треугольнике ABC внешний угол при основании равен 150^, а медиана BM, проведённая к основанию, равна 31. Найдите боковую сторону треугольника ABC.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC (AB = BC). 1. Внешний угол при основании AC равен 150^. Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, поэтому их сумма равна 180^. Найдём угол C: C = 180^ - 150^ = 30^. Так как треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: A = C = 30^ . 2. Медиана BM, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его высотой. Следовательно, BM AC, и треугольник BMC — прямоугольный ( BMC = 90^). 3. В прямоугольном треугольнике BMC катет BM лежит напротив угла C = 30^. По свойству прямоугольного треугольника катет, лежащий напротив угла в 30^, равен половине гипотенузы: BM = (1)/(2) BC. Отсюда находим боковую сторону BC: BC = 2 * BM = 2 * 31 = 62. Ответ: 62.

62