Задача №10496 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB = 34, sin A = (8)/(17). Найдите площадь треугольника ABC.

Из рисунка видно, что треугольник ABC — равнобедренный с боковыми сторонами AB = BC = 34. Проведём высоту BH к основанию AC. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, высота BH также является его медианой, следовательно, AC = 2AH. В прямоугольном треугольнике ABH ( H = 90^): 1. Найдём высоту BH: BH = AB * sin A = 34 * (8)/(17) = 2 * 8 = 16 2. По теореме Пифагора найдём катет AH: AH = sqrt(AB^2 - BH^2) = sqrt(34^2 - 16^2) = sqrt((34 - 16)(34 + 16)) = sqrt(18 * 50) = sqrt(900) = 30 3. Найдём основание AC: AC = 2 * AH = 2 * 30 = 60 4. Вычислим площадь треугольника ABC: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 60 * 16 = 480 Ответ: 480

480