Задача №10493

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^{\circ }\text{,}$ $AC=8\text{.}$ Найдите диаметр окружности.

Углы $\angle COA$ и $\angle COB$ являются смежными, так как $AB$ — диаметр окружности, а значит, точки $A\text{,}$ $O$ и $B$ лежат на одной прямой. Тогда:

Рассмотрим треугольник $AOC\text{.}$ Стороны $OA$ и $OC$ равны как радиусы окружности. Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Поскольку угол при вершине $\angle COA=60^{\circ }\text{,}$ треугольник $AOC$ является равносторонним.

Отсюда получаем, что радиус окружности равен стороне $AC\text{:}$

Диаметр окружности $AB$ равен двум радиусам:

Ответ: $16\text{.}$