Задача №10491

Сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{,}$ а его периметр равен 68. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

Пусть $a$ — длина стороны ромба, а $P$ — его периметр. Так как у ромба все стороны равны, имеем:

Сумма двух соседних углов ромба равна $180^{\circ }\text{,}$ следовательно, данные по условию два угла, сумма которых равна $120^{\circ }\text{,}$ являются противоположными. Каждый из этих углов равен:

Меньшая диагональ ромба лежит напротив угла в $60^{\circ }\text{.}$ Она делит ромб на два равных треугольника, каждый из которых является равнобедренным (так как стороны ромба равны) с углом при вершине $60^{\circ }\text{.}$

Следовательно, эти треугольники являются равносторонними, и длина меньшей диагонали равна длине стороны ромба: