Задача №10489

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ также является высотой. Следовательно, треугольник $ABM$ является прямоугольным ($\angle AMB=90^{\circ }$).

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

$$\mathrm{tg}A=\frac{BM}{AM}.$$

Подставим известные из условия значения:

$$\frac{12}{5}=\frac{12}{AM}\Rightarrow AM=5.$$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM\text{,}$ чтобы найти гипотенузу $AB\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Ответ: 13.