Задача №10487

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=12\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. По свойству параллелограмма, если его диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. Следовательно, все его стороны равны:

2. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ следовательно:

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём стороны $AB=AD=12\text{,}$ то есть треугольник равнобедренный. Так как угол при вершине $A$ равен $60^{\circ }\text{,}$ то и углы при основании $BD$ равны:

4. Треугольник $ABD\text{,}$ у которого все углы равны $60^{\circ }\text{,}$ является равносторонним. Значит, все его стороны равны:

Ответ: 12.