Задача №10486

Способ 1.

1. Отрезки $OB$ и $OC$ — радиусы окружности, поэтому $OB=OC\text{.}$ Следовательно, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC\text{.}$

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle OBC=\angle OCB=\angle ACB=68^{\circ }.$$

3. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ откуда находим угол при вершине $O\text{:}$

$$\angle BOC=180^{\circ }-(\angle OBC+\angle OCB)=180^{\circ }-(68^{\circ }+68^{\circ })=180^{\circ }-136^{\circ }=44^{\circ }.$$

4. Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, так как $AC$ и $BD$ — диаметры, пересекающиеся в точке $O\text{.}$ Следовательно:

$$\angle AOD=\angle BOC=44^{\circ }.$$

Способ 2.

1. Вписанный угол $\angle ACB=68^{\circ }$ опирается на дугу $AB\text{.}$ Градусная мера дуги в два раза больше вписанного угла, опирающегося на неё:

$$\cup AB=2\cdot \angle ACB=2\cdot 68^{\circ }=136^{\circ }.$$

2. Поскольку $BD$ — диаметр, полуокружность $BAD$ составляет $180^{\circ }\text{.}$ Тогда градусная мера дуги $AD$ равна:

$$\cup AD=180^{\circ }-\cup AB=180^{\circ }-136^{\circ }=44^{\circ }.$$

3. Угол $\angle AOD$ — центральный, опирающийся на дугу $AD\text{,}$ поэтому его градусная мера равна градусной мере этой дуги:

$$\angle AOD=\cup AD=44^{\circ }.$$

Ответ: 44.