Задача №10485

Сумма двух углов ромба равна $240^{\circ }\text{,}$ а его меньшая диагональ равна 18. Найдите периметр ромба.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором $BD$ — меньшая диагональ, равная 18.

Сумма любых двух соседних углов ромба равна $180^{\circ }\text{.}$ Следовательно, сумма $240^{\circ }$ может быть только суммой двух равных противоположных тупых углов:

Тогда острые углы ромба равны:

Диагональ $BD$ является биссектрисой углов $B$ и $D\text{.}$ Рассмотрим треугольник $ABD\text{:}$

• $AB=AD$ (как стороны ромба), то есть треугольник $ABD$ — равнобедренный;
• $\angle A=120^{\circ }\text{,}$ тогда $\angle ABD=\angle ADB=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABC\text{,}$ образованный сторонами ромба и его меньшей диагональю $AC$ (или аналогично треугольник $BCD$ с диагональю $BD$). Более простой способ: меньшая диагональ ромба лежит напротив его острого угла $60^{\circ }\text{.}$

В треугольнике $ABD$ угол при вершине $A$ равен $60^{\circ }$ (если рассматривать острый угол ромба).

Пусть $\angle A=60^{\circ }\text{.}$ Поскольку $AB=AD\text{,}$ треугольник $ABD$ является равнобедренным с углом $60^{\circ }$ при вершине, а значит, он равносторонний:

Таким образом, сторона ромба равна 18.

Найдем периметр ромба:

Ответ: 72.