Задача №10484

Катет прямоугольного треугольника равен 60, одна из средних линий равна 5,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c\text{.}$

Известно, что средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Таким образом, в прямоугольном треугольнике длины средних линий равны $\frac{a}{2}\text{,}$ $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}\text{.}$

Один из катетов равен $60\text{.}$ Пусть $a=60\text{.}$ Тогда средняя линия, параллельная этому катету, равна:

Поскольку длина данной в условии средней линии равна $5,5\text{,}$ она не может быть параллельна катету $a$ (так как $5,5\ne 30$).

Также она не может быть параллельна гипотенузе $c\text{,}$ поскольку гипотенуза всегда больше любого из катетов ($c>60$), а значит, средняя линия, параллельная гипотенузе, должна быть больше $30\text{.}$

Следовательно, данная средняя линия параллельна второму катету $b\text{:}$

Теперь найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

Ответ: 61.