Задача №10483

Пусть исходный прямоугольник разделен горизонтальным и вертикальным разрезами на четыре меньших прямоугольника. Обозначим высоту верхней строки как $h_1\text{,}$ высоту нижней строки как $h_2\text{,}$ ширину левого столбца как $w_1\text{,}$ а правого — как $w_2\text{.}$

Тогда площади этих прямоугольников выражаются формулами:

• левый верхний: $S_{11}=h_1\cdot w_1=5\text{;}$
• правый верхний: $S_{12}=h_1\cdot w_2=10\text{;}$
• правый нижний: $S_{22}=h_2\cdot w_2=18\text{;}$
• левый нижний (искомый): $S_{21}=h_2\cdot w_1\text{.}$

Запишем отношения площадей для левого и правого столбцов:

$$\frac{S_{11}}{S_{21}}=\frac{h_1\cdot w_1}{h_2\cdot w_1}=\frac{h_1}{h_2}$$

и

$$\frac{S_{12}}{S_{22}}=\frac{h_1\cdot w_2}{h_2\cdot w_2}=\frac{h_1}{h_2}.$$

Отсюда получаем равенство отношений:

$$\frac{S_{11}}{S_{21}}=\frac{S_{12}}{S_{22}}.$$

Выразим площадь искомого прямоугольника $S_{21}\text{:}$

$$S_{21}=\frac{S_{11}\cdot S_{22}}{S_{12}}.$$

Подставим числовые значения из условия:

$$S_{21}=\frac{5\cdot 18}{10}=\frac{90}{10}=9.$$

Ответ: 9