Задача №10479

Медиана $BM$ одновременно является биссектрисой угла $B\text{.}$ Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный: $AB=BC\text{.}$

Тогда $BM$ является также высотой, то есть $BM\perp AC\text{,}$ и угол $BMA=90^{\circ }\text{.}$

Биссектриса делит угол $B$ пополам:

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ Катет $BM$ прилежит к углу $ABM\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos (\angle ABM)=\frac{BM}{AB}\Rightarrow AB=\frac{BM}{\cos 60^{\circ }}.$$

Подставим $BM=24$ и $\cos 60^{\circ }=0,5\text{:}$

$$AB=\frac{24}{0,5}=48.$$

Ответ: 48