Задача №10476 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 19. Найдите длину стороны AB.

По условию задачи, отрезок BM является медианой треугольника ABC и делит угол B пополам, то есть является также его биссектрисой. Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным с равными боковыми сторонами. Таким образом, AB = BC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, BM AC, а треугольник ABM — прямоугольный ( AMB = 90^). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM: 1. Угол ABM равен половине угла B: ABM = (120^)/(2) = 60^ 2. Острый угол BAM равен: BAM = 90^ - 60^ = 30^ 3. Катет BM лежит против угла 30^, следовательно, он равен половине гипотенузы AB: BM = (1)/(2) AB => AB = 2 * BM Подставим значение BM = 19: AB = 2 * 19 = 38

38