Задача №10476

По условию задачи, отрезок $BM$ является медианой треугольника $ABC$ и делит угол $B$ пополам, то есть является также его биссектрисой.

Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным с равными боковыми сторонами. Таким образом, $AB=BC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ а треугольник $ABM$ — прямоугольный ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM\text{:}$

1. Угол $ABM$ равен половине угла $B\text{:}$

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$

2. Острый угол $BAM$ равен:

$$\angle BAM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$

3. Катет $BM$ лежит против угла $30^{\circ }\text{,}$ следовательно, он равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM$$

Подставим значение $BM=19\text{:}$

$$AB=2\cdot 19=38$$