Задача №10475

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC=12$ и $AD=28\text{,}$ а также боковыми сторонами $AB=CD=17\text{.}$ Нам необходимо найти длину диагонали $BD\text{.}$

1. Проведём высоты $BH$ и $CK$ из вершин верхнего основания на нижнее основание $AD\text{.}$

2. Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, отрезки $AH$ и $KD$ равны между собой:

$$AH=KD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{28-12}{2}=8$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём высоту $BH\text{:}$

$$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$$

4. Найдём длину отрезка $HD\text{:}$

$$HD=AD-AH=28-8=20$$

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$ (угол $\angle BHD=90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BD\text{,}$ которая является диагональю трапеции:

$$BD=\sqrt{B{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$$

Ответ: 25