Задача №10474

1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $K$ — середина стороны $AC\text{,}$ откуда:

$$KC=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12$$

2. Так как $BK$ — высота, угол $BKC$ равен $90^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник $BKC$ — прямоугольный.

3. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BC\text{:}$

$$BC=\sqrt{B{K}^2+K{C}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$

4. Точка $P$ — середина стороны $BC\text{.}$ Таким образом, в прямоугольном треугольнике $BKC$ отрезок $KP$ является медианой, проведённой к гипотенузе.

5. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

$$KP=\frac{BC}{2}=\frac{15}{2}=7,5$$

Ответ: 7,5.