В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 10, tg BAC = (sqrt(11))/(5). Найдите длину стороны AB.

Задача №10465: Планиметрия

Проведём высоту $B H$ к основанию $A C$ равнобедренного треугольника $A B C .$

Так как треугольник $A B C$ равнобедренный с основанием $A C$ ( $A B = B C$ ), высота $B H$ также является медианой. Следовательно:

A H = H C = \frac{A C}{2} = \frac{10}{2} = 5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B H$ ( $∠ A H B = 9 0^{\circ}$ ). По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

t g ∠ B A C = \frac{B H}{A H} .

Подставим известные значения:

\frac{11}{5} = \frac{B H}{5} \Rightarrow B H = 11 .

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $A B H :$

A B^{2} = A H^{2} + B H^{2} .

Тогда:

A B^{2} = 5^{2} + (11)^{2} = 25 + 11 = 36,

откуда

A B = 6.

Ответ: 6