Задача №10462

Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O\text{.}$

Известно, что сторона ромба равна $34\text{,}$ то есть $AB=34\text{,}$ а одна из его диагоналей равна $60\text{.}$ Пусть $AC=60\text{.}$

По свойствам ромба его диагонали взаимно перпендикулярны ($AC\perp BD$) и в точке пересечения делятся пополам:

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{60}{2}=30.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$$B{O}^2=A{B}^2-A{O}^2.$$ $$BO=\sqrt{34^2-30^2}=\sqrt{(34-30)(34+30)}=\sqrt{4\cdot 64}=\sqrt{256}=16.$$

Вторая диагональ $BD$ равна:

$$BD=2\cdot BO=2\cdot 16=32.$$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 60\cdot 32=960.$$

Ответ: 960.