Перейти к основному содержимому

Математика
Математика (база) ЕГЭ
Задачи
№10460

Задача №10460

Средне

Задача #10460

Треугольники и их элементы•1 балл

Задача №10460, тип №12 Планиметрия, Математика (база) ЕГЭ, изображение задачи.

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Информация

ЭкзаменЕГЭ

Часть

1

Раздел

Геометрия

Тип задачи№12 Планиметрия

ТемаТреугольники и их элементы

ИсточникОткрытый банк задач ФИПИ

Откуда задача

ФИПИ

Теги

ТреугольникОтношение длин, площадей, объемов подобных фигур

В треугольнике $A B C$ на сторонах $A B$ и $B C$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $B M : A B = 1 : 2,$ а $B K : B C = 4 : 7 .$ Во сколько раз площадь треугольника $A B C$ больше площади треугольника $M B K ?$

Площадь треугольника можно найти по формуле половины произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем площади треугольников $A B C$ и $M B K,$ используя общий угол $B :$

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin ∠ B,

S_{M B K} = \frac{1}{2} \cdot B M \cdot B K \cdot sin ∠ B .

Найдем отношение площади треугольника $A B C$ к площади треугольника $M B K :$

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = \frac{A B \cdot B C \cdot sin ∠ B}{B M \cdot B K \cdot sin ∠ B} = \frac{A B}{B M} \cdot \frac{B C}{B K} .

Из условий задачи известны отношения:

\frac{B M}{A B} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{A B}{B M} = 2,

\frac{B K}{B C} = \frac{4}{7} \Rightarrow \frac{B C}{B K} = \frac{7}{4} .

Подставим полученные значения в отношение площадей:

\frac{S _{A B C}}{S _{M B K}} = 2 \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{2} = 3, 5.

Таким образом, площадь треугольника $A B C$ больше площади треугольника $M B K$ в $3, 5$ раза.

Ответ: $3, 5$