Задача №10457

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является его высотой, поэтому $\angle AKB=90^{\circ }\text{.}$

Так как $K$ — середина $AC\text{,}$ отрезок $AK$ равен половине $AC\text{:}$

$$AK=\frac{1}{2}AC.$$

Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC\text{,}$ так как он соединяет середины боковых сторон. По свойству средней линии треугольника:

$$MN=\frac{1}{2}AC\Rightarrow AC=2\cdot MN=2\cdot 40=80.$$

Тогда:

$$AK=\frac{1}{2}\cdot 80=40.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{K}^2+B{K}^2.$$ $$A{B}^2=40^2+9^2=1600+81=1681.$$ $$AB=\sqrt{1681}=41.$$

Ответ: $41\text{.}$