В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC медиана BK = 9, отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон, равен 40. Найдите боковую сторону AB.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC медиана BK, проведённая к основанию, также является его высотой, поэтому AKB = 90^. Так как K — середина AC, отрезок AK равен половине AC: AK = (1)/(2) AC. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC, так как он соединяет середины боковых сторон. По свойству средней линии треугольника: MN = (1)/(2) AC => AC = 2 * MN = 2 * 40 = 80. Тогда: AK = (1)/(2) * 80 = 40. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK ( AKB = 90^). По теореме Пифагора: AB^2 = AK^2 + BK^2. AB^2 = 40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681. AB = sqrt(1681) = 41. Ответ: 41.

41