Задача №10454

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=34\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. По условию $ABCD$ — параллелограмм, в котором диагонали перпендикулярны. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

2. У ромба противоположные углы равны, значит, $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ откуда следует, что $\angle A=\angle C=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }\text{.}$

3. Все стороны ромба равны, поэтому $AB=AD=34\text{.}$

4. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём $AB=AD\text{,}$ значит, треугольник равнобедренный. Так как угол при вершине $\angle A=60^{\circ }\text{,}$ то углы при основании равны:

Таким образом, все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник является равносторонним.

5. В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит, $BD=AB=34\text{.}$

Ответ: 34