Задача №10452

Диагонали ромба $ABCD$ взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам.

Получаем:

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{55}}{2}=\sqrt{55}$$ $$BO=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём сторону ромба $AB\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}=\sqrt{(\sqrt{55}{)}^2+3^2}=\sqrt{55+9}=\sqrt{64}=8$$

Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $AC\text{,}$ угол $BAC$ совпадает с углом $BAO\text{.}$

Синус угла $BAC$ равен отношению противолежащего катета $BO$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin \angle BAC=\sin \angle BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{3}{8}=0,375.$$

Ответ: $0,375\text{.}$