Задача №10447

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC\text{.}$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ то высота $BH$ является также его медианой. Следовательно:

$$AH=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). По определению тангенса угла:

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BH}{AH}.$$

Подставим известные величины:

$$\frac{3}{4}=\frac{BH}{4}\Rightarrow BH=3.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABH$ найдём гипотенузу $AB\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$$

Ответ: 5.