Задача №10446

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD\text{.}$

По свойству параллелограмма его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

$$OC=\frac{AC}{2}$$

Из условия задачи известно, что $AC=2\cdot AB\text{,}$ откуда $AB=\frac{AC}{2}\text{.}$ Следовательно, $OC=AB\text{.}$

В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $CD=AB\text{.}$ Таким образом, $OC=CD\text{.}$

Рассмотрим треугольник $OCD\text{.}$ Поскольку $OC=CD\text{,}$ треугольник $OCD$ является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$ Угол при вершине $C$ равен $\angle OCD=\angle ACD=140^{\circ }\text{.}$

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

$$\angle COD=\angle CDO=\frac{180^{\circ }-\angle OCD}{2}=\frac{180^{\circ }-140^{\circ }}{2}=20^{\circ }.$$

По определению, угол между пересекающимися прямыми (диагоналями) не превосходит $90^{\circ }\text{.}$ Так как $\angle COD=20^{\circ }\text{,}$ угол между диагоналями параллелограмма равен $20^{\circ }\text{.}$

Ответ: $20^{\circ }\text{.}$