Задача №10443

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC\text{,}$ $AC=8\text{,}$ $\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{\sqrt{5}}{2}\text{.}$ Найдите длину стороны $AB\text{.}$

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Следовательно:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $H$ равен $90^{\circ }$). Тангенс угла $BAC$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

Подставим известные значения:

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABH\text{:}$

Ответ: 6.