Задача №10442

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=32\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. У ромба все стороны равны, следовательно, $AB=BC=CD=DA=32\text{.}$

2. Противоположные углы параллелограмма равны, значит, $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ следовательно, $2\angle A=120^{\circ }\text{,}$ откуда $\angle A=60^{\circ }\text{.}$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём стороны $AB$ и $AD$ равны как стороны ромба ($AB=AD=32$), то есть треугольник является равнобедренным.

4. Поскольку угол $A$ между боковыми сторонами равен $60^{\circ }\text{,}$ углы при основании равны:

5. Так как все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ треугольник является равносторонним. Следовательно, $BD=AB=32\text{.}$

Ответ: 32