Задача №10438

В треугольнике $ABC$ сторона $AC=10\text{,}$ $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC=BM\text{.}$ Найдите длину отрезка $AH\text{.}$

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ — середина стороны $AC\text{.}$ Значит,

По условию $BM=BC\text{,}$ поэтому треугольник $BMC$ равнобедренный с основанием $MC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, совпадает с медианой к этому основанию. Высота $BH$ проведена к стороне $AC\text{,}$ на которой лежит основание $MC\text{,}$ значит $H$ — середина отрезка $MC\text{:}$

Точка $H$ лежит между $M$ и $C\text{,}$ поэтому

Ответ: 7,5.