Задача №10436

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $K$ — середина $AC\text{,}$ откуда:

$$KC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ ($\angle BKC=90^{\circ }$). По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BC\text{:}$

$$BC=\sqrt{B{K}^2+K{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Способ 1 (через свойство медианы прямоугольного треугольника):
Поскольку $P$ — середина $BC\text{,}$ отрезок $KP$ является медианой прямоугольного треугольника $BKC\text{,}$ проведённой к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

$$KP=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}=2,5.$$

Способ 2 (через среднюю линию треугольника):
Так как $K$ — середина $AC$ и $P$ — середина $BC\text{,}$ отрезок $KP$ является средней линией треугольника $ABC\text{,}$ параллельной стороне $AB\text{.}$ По свойству средней линии:

$$KP=\frac{AB}{2}.$$

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ боковые стороны равны: $AB=BC=5\text{.}$ Следовательно:

$$KP=\frac{5}{2}=2,5.$$

Ответ: $2,5\text{.}$