Задача №10428 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC высота BM, проведённая к основанию, равна 3, а tg A = 0,75. Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC. Высота BM, проведённая к основанию, также является медианой, поэтому M — середина AC, а значит, AC = 2 * AM. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM (угол M = 90^). По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: tg A = (BM)/(AM). Подставим известные значения BM = 3 и tg A = 0,75: 0,75 = (3)/(AM) => AM = (3)/(0,75) = 4. Тогда длина основания AC равна: AC = 2 * AM = 2 * 4 = 8. Площадь треугольника ABC вычисляется как половина произведения основания на высоту: S = (1)/(2) * AC * BM = (1)/(2) * 8 * 3 = 12. Ответ: 12.

12