Задача №10428

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM\text{,}$ проведённая к основанию, равна 3, а $\mathrm{tg}A=0,75\text{.}$ Найдите площадь треугольника $ABC\text{.}$

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC\text{.}$ Высота $BM\text{,}$ проведённая к основанию, также является медианой, поэтому $M$ — середина $AC\text{,}$ а значит, $AC=2\cdot AM\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $M=90^{\circ }$). По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:

Подставим известные значения $BM=3$ и $\mathrm{tg}A=0,75\text{:}$

Тогда длина основания $AC$ равна:

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения основания на высоту:

Ответ: $12\text{.}$