Задача №10422

В окружности с центром $O$ $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $50^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Поскольку $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O\text{,}$ точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Следовательно, $OB=OC\text{,}$ и треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC\text{.}$

Углы $AOD$ и $BOC$ — вертикальные, поэтому они равны:

Так как треугольник $BOC$ — равнобедренный, углы при его основании равны:

Сумма углов треугольника $BOC$ равна $180^{\circ }\text{:}$

Поскольку точка $O$ лежит на диаметре $AC\text{,}$ угол $ACB$ совпадает с углом $OCB\text{.}$ Таким образом, $\angle ACB=65^{\circ }\text{.}$

Ответ: $65^{\circ }$